Введение

Предположим, мы имеем дело с одним небольшим регионом, который не имеет авиасообщения, самая дальняя возможная железнодорожная перевозка занимает максимум четыре часа, и не существует внутрирегиональной специализации в производстве молока. Региональный рынок рассматривается как один рынок. Экспортный рынок является отдельным рынком.

Предположим также, что фермеры сами не занимаются продажей молока, а поставляют всё молоко, которое им самим не нужно, на молокозавод. Молокозавод стремится получить максимум дохода от молока, продавая его в чистом виде для потребления, и производя из него масло, сыр, сгущенное молоко и пр., и продавая эти продукты на домашнем и экспортном рынках. Общая стоимость этих продаж молока и продуктов из него, деленная на общее количество молока, поставляемого фермерами, дает среднюю стоимость литра молока. В обмен на это молокозавод гарантирует фермерам определенную цену. Если гарантированная цена выше, чем фактическая средняя цена, молокозавод платит разницу в виде субсидии фермерам. Молокозавод может рассматриваться как монополист с полной властью установления цен и для потребителей, и для поставщиков. В данной статье мы предполагаем, что количество производимого молока фиксировано и задано, поскольку оно может быть точно спрогнозировано. Поскольку процесс максимизации выручки может привести к очень высоким, социально неприемлемым ценам, добавляется «социальное» ограничение, которое приводит к определенной потере полезности, обозначенной нами n.

Материалы и методы

Главными молочными продуктами являются молоко для потребления, масло и различные виды сыра. Мы будем рассматривать два вида сыра – жирный и 40%-ный. В табл. 1 показаны их составляющие.

Таблица 1

Содержание жира, сухого вещества и воды в молоке, масле и сыре, %.

Общее наличие жира и сухого вещества определяется общим количеством производимого сырого молока (допустим, 7 123 000 тонн). В табл. 2 представлены результаты вычетов из произведенного молока, и конечное общее количество жира в 154 000 тонн и сухого вещества в 227 000 тонн. Вычеты сделаны для фермерского использования, экспорта масла, сыра и молока, и производства специальных продуктов, которые должны экспортироваться.

Таблица 2

Имеющееся количество жира и сухого вещества (в 1000 тонн)

На основании этих данных можно сформулировать следующие ограничения на производство молока, масла и сыра: обозначив x₁, x₂, x₃, и x₄ количества в 1000 тонн произведенного молока, масла, жирного сыра и 40%-го сыра соответственно, мы получим:

Определение функций спроса представляет собой аппроксимацию. Аппроксимация обычно касается формы выбранной конкретной функции, а также численной спецификации параметров выбранной функции.

Наши функции спроса основаны на трех множествах данных: фактического количества потребленного молока, масла и сыра, обозначаемого;

их (средней) цены ;

и различной эластичности и перекрестной эластичности, обозначаемой e.

Эти последние значения основаны на существующем изучении поведения потребителя. Предполагается, что функции линейны:[1]

Таким образом, общая выручка  равна 91,8 млн рублей. Можно также отметить, что наличие жира, как дано выше, несколько превосходит необходимое его количество для удовлетворения этого спроса; (небольшое) различие является результатом изменений в запасах, а также ошибками измерения.

Значения эластичности и перекрестной эластичности:

В соответствии с теорией потребления перекрестная эластичность е₃₄ была  взята в размере, меньшем по сравнению с е₄₃ в пять раз, поскольку бюджетная квота жирного сыра примерно в пять раз превышает бюджетную квоту 40%-ного сыра (см. (8)). Подставляя (8) и (9) в (4) – (7), получим четыре линейные убывающие функции спроса:

Для небольших отклонений от первоначальных значений эти функции будут, вероятно, являться хорошей аппроксимацией. С увеличением отклонений результаты должны будут интерпретироваться более аккуратно. Очевидно, могут быть рассмотрены различные значения параметров.

Функция, которую мы максимизируем, представляет собой выражение . Используя выражение (10), целевую функцию можно переписать как квадратичную функцию от p_i (об использовании квадратичного программирования в сельском хозяйстве см., например, [3]). Ее максимум достигается при следующих значениях цен и количества продуктов:

Это решение удовлетворяет ограничениям (1), (2) и (3). Общая выручка в этом случае равна 109,5 млн рублей; чистая прибыль составляет около 17,7 млн рублей, но этого не вполне достаточно, чтобы покрыть ежегодные субсидии фермерам.

Сильное ценовое увеличение является неприемлемым с социальной точки зрения, поэтому должно быть добавлено следующее ограничение:

В выражении (12) коэффициенты w_i представляют собой веса, присвоенные отклонениям от первоначальной (за 2015г.) цены. Ценовая структура в 2015г. принята за «нормальную»[5]. Веса w_i были определены таким образом, что приблизительно выполняется следующее соотношение:

Предположим, взвешивание дало следующие значения, в сумме равные 10:

Это означает, что, если все цены увеличиваются на 1 процент, n = 1/10. Значение n является нулевым в исходной ситуации, и остается нулевым до тех пор, пока соответствующие средневзвешенные значения относительных ценовых изменений остаются равными нулю. В этом смысле значение n, равное нулю, может быть названо нейтральным. По мере того, как оно растет относительно нуля, с социальной точки зрения становится все хуже.

Подставляя значения из выражений (14) и (8) в (12), мы получим:

Результаты и обсуждение

Таким образом, может быть поставлена следующая задача: максимизироватьдля различных значений n, определив цены при данных доступных количествах продуктов, при данных функциях спроса (10) и при условии выполнения ограничений (1), (2), (3) и (16).

Поскольку инструментами в данном случае являются цены, нам необходимо переформулировать ограничения (1) и (2) с использованием переменных p_i, а не x_i. Это можно сделать, подставляя (10) в (1) и (2):

Сюда же добавляем социальное ограничение (16), полагаем n = 0, а целевую функцию, максимизирующую общую выручку, записываем как квадратичную функцию от p_i:

Решая задачу квадратичного программирования (16)-(18), мы получим следующие результаты: общая выручка равна 97,3 млн рублей, оптимальный план p* = (35419; 183191,5; 197811; 337743), вектор переменных x = (1837; 75,7; 68,7; 14) (о методах решения подобных задач см., например, [2], [4], [6], [8]), о реализации методов решения оптимизационных задач в среде MS Excel подробно говорится в [1]).  Заметим, что общая выручка получается ненамного больше полученной на практике — 91,8 млн рублей. Дополнительный доход в размере 5,5 миллионов рублей получается путем увеличения цены молока и масла, и снижения цены сыра. В табл.3 представлено решение для разных значений n. Абсолютный максимум достигается при значениях, указанных в (11), и n = 5,05564.

Таблица 3

Оптимальные решения при различных значениях n.

Выводы

• результаты основаны на функциях спроса (которые являются наилучшей аппроксимацией) и социальном ограничении (которое является произвольным);
• цены близки к их оптимальным значениям, только если рассматриваются социально нейтральные случаи;
• по мере возрастания n цены поднимаются так высоко, что спрос больше не является достаточным, чтобы можно было полностью использовать молочный жир.

[1] Для больших положительных отклонений от равновесных цен это будет, вероятно, сказываться на недооценке спроса и, следовательно, дохода.